Sách Đại số: Nguyên lí Dirichlet và Nguyên lí xuống thang

Chuyên đề Đại số sơ cấp
​

​

NGUYÊN LÍ DIRICHLET
​

Nguyên lí Dirichlet là gì?

Ở chương trình phổ thông, khi giải một số bài toán số học và hình học chúng ta đã được làm quen với một nguyên lí rất nổi tiếng về sự tồn tại, đó là nguyên lí Dirichlet hay vẫn gọi là “Nguyên lí Lồng và Thỏ”. Nguyên lí được phát biểu như sau:

Dạng sơ khai: Không thể nhốt 5 chú thỏ vào 2 chiếc lồng, sao cho mỗi lồng không quá 2 chú.

Dạng tổng quát: Nếu k lồng chứa kn+1 thỏ, thì một trong các lồng chứa ít nhất n+1 thỏ.

Ngoài ra nguyên lí này còn được phát biểu dưới nhiều dạng khác như dạng dạng tập hợp, dạng hình học, dạng đại số…

Tuy được phát biểu dưới nhiều dạng khác nhau nhưng cái cốt của nguyên lí vẫn là chỉ ra sự tồn tại. Nguyên lí không xác định được chính xác đối tượng nhưng việc chỉ ra nó tồn tại đã mang lại nhiều ý nghĩa trong cuộc sống cũng như trong toán học.



NGUYÊN LÍ XUỐNG THANG

Nhà toán học lớn P. Fermat (1601-1655) viết rằng: “Do nhưng phương pháp bình thường đã có trong các sách không đủ chứng minh những mệnh đề khó và quan trọng, vì thế tôi đã hoàn thiện một cách đặc biệt để giải quyết những bài toán này. Tôi gọi cách chứng minh đặc biệt này là xuống thang không xác định hoặc xuống thang đế vô cùng”.

Ban đầu Fermat chỉ dùng phương pháp này để chứng minh những mệnh đề phủ định. Ví dụ như: “Không tồn tại một tam giác vuông có số đo các cạnh là những số tự nhiên, mà số đo diện tích của nó là một số chính phương”

Sau đó Fermat có nói rằng (sau một thời gian dài suy nghĩ) đã có thể ứng dụng phương pháp này vào chứng minh những mệnh đề khẳng định. Ví dụ: “Mọi số nguyên tố dạng 4n+1 đều biểu diễn thành tổng của 2 số chính phương”.

Phương pháp xuống thang thời hiện đại giữ một vai trò quan trọng trong giải tích Diophant với những công trình của J.H. Poincare và A. Baile. Ngày nay phương pháp này vẫn còn được ứng dụng trong lí thuyết số của toán học…

Link Downs:
Die (đang tìm link thay thế:
Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để xem link)
**********************
Nguồn: TVE
Người viết bài:
Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để xem link​